viernes, 21 de noviembre de 2014
viernes, 14 de noviembre de 2014
jueves, 28 de agosto de 2014
UN PENSAMIENTO MATEMATICO
POEMA A LAS MATEMÁTICAS
Esos números que crecen y crecen sin descanso,
0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, 0.99999,....
Acercándose cada vez más a la unidad divina,
acariciándola sin llegar a tocarla todavía:
esta sucesión numérica es también poesía.
Es como una rima inacabable y sostenida,
como una esperanza siempre insatisfecha,
como un deseo que nunca se detiene,
como un cercano horizonte inalcanzable...
Triángulos, círculos, polígonos,
elipses, hipérbolas, parábolas,
suenan en nuestros oídos desde Euclides
como formas geométricas abstractas,
figuras ideales que viven con nosotros,
porque también en el amor hay triángulos
y en el cielo se dibuja sin compás el arco iris.
Vais paralelos siempre lenguaje y geometría,
pues en el habla se esconde las elipses,
en los libros sagrados se habla de parábolas
y en los poemas épicos se disparan las hipérbolas.
Números y formas, imágenes y ritmos
orden y luz en versos y en teoremas,
con un toque supremo de armonía,
estáis juntas en la memoria de los tiempos,
juntas estáis matemática y poesía.
Gonzalo Sánchez Vázquez
CHISTES DE MATEMATICAS
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UNIDAD 1 "UTILICEMOS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS"
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS.
Seno
El seno del Angulo B es la razon entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa.
Se denota por sen B.
Coseno
El coseno del ángulo B es la razón entre el cateto contiguo al ángulo y la hipotenusa.
Se denota por cos B.
Tangente
La tangente del ángulo B es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto contiguo al ángulo.
Se denota por tg B.
Cosecante
La cosecante del ángulo B es la razón inversa del seno de B.
Se denota por cosec B.
Secante
La secante del ángulo B es la razón inversa del coseno de B.
Se denota por sec B.
Cotangente
La cotangente del ángulo B es la razón inversa de la tangente de B.
Se denota por cotg B.
Seno, coseno y tangente de 30º y 60º
Seno, coseno y tangente de 45º
Razones trigonométricas de ángulos notables
ÁNGULOS DE ELEVACIÓN Y DEPRESIÓN.
ÁNGULOS DE ELEVACIÓN Y DE DEPRESIÓN
Son ángulos formados por dos líneas imaginarias llamadas:línea
visual o línea de visión y la línea horizontal.
En estos casos, el observador se encuentra por debajo del objeto observado o bien, se encuentra por encima de dicho objeto.
Para estas mediciones se utilizan sencillos aparatos que colocados sobre un trípode ( 3 puntos determinan un solo plano) el simple giro realizado de la mirilla sobre el punto a observar nos señala los grados girados respecto a la horizontal:
En el caso del ángulo de depresión, el observador se encuentra por encima del lugar a observar y del modo anterior su representación podemos hacerla del modo siguiente:
SENO y COSENO DE UN ÁNGULO
No te preocupes de las palabras que se utilizan en Trigonometría, lo importante es que sepas para qué sirven. Comprobarás que es una parte de las Matemáticas sencilla y muy interesante.
Verás que tenemos tres triángulos rectángulos:
Los catetos opuestos al ángulo α son, de menor a mayor: AB, A’B’ y A”B”.
Los catetos contiguos al ángulo α (que están tocando al ánguloα) son, de menor a mayor: OA, O A’ y OA”.
Las hipotenusas de los tres triángulos son, de menor a mayor: OB, OB’ y OB”.
Hace poco has leído que los egipcios se dieron cuenta, pero ¿de qué se dieron cuenta?
Lee con mucha atención:
Para un mismo ángulo α, los cocientes de los valores:
Para un mismo ángulo, el valor del cociente entre el cateto opuesto y su hipotenusa será siempre el mismo.
Ejemplos:
Para un ángulo de 30º, el cociente entre el cateto opuesto y su hipotenusa vale 0,5.
Para un ángulo de 45º, el cociente entre el cateto opuesto y su hipotenusa vale 0,707.
miércoles, 27 de agosto de 2014
UNIDAD 2 "RECOPILEMOS, ORGANICEMOS Y PRESENTEMOS LA INFORMACIÓN"
DIVISIÓN ESTADISTICA
La Estadística para su mejor estudio se ha dividido en dos grandes ramas: la Estadística Descriptiva y la Inferencial.
• Estadística Descriptiva: consiste sobre todo en la presentación de datos en forma de tablas y gráficas. Esta comprende cualquier actividad relacionada con los datos y está diseñada para resumir o describir los mismos sin factores pertinentes adicionales; esto es, sin intentar inferir nada que vaya más allá de los datos, como tales.
• Estadística Inferencial: se deriva de muestras, de observaciones hechas sólo acerca de una parte de un conjunto numeroso de elementos y esto implica que su análisis requiere de generalizaciones que van más allá de los datos. Como consecuencia, la característica más importante del reciente crecimiento de la estadística ha sido un cambio en el énfasis de los métodos que describen a métodos que sirven para hacer generalizaciones. La Estadística Inferencial investiga o analiza una población partiendo de una muestra tomada
UNIDAD 3 "ORGANICEMOS Y TABULEMOS VARIABLES DISCRETAS Y CONTINUAS"
VARIABLES DISCRETAS Y CONTINUAS.
La manera lógica de organizar datos es crear categorías y luego asignar las observaciones a una categoría. Pero nuestra capacidad de categorizar está limitada por la naturaleza de las variables que usamos. Además, no todas las variables se pueden categorizar con la misma facilidad. En términos estadísticos, las variables que interesa medir pueden ser (a) discretas o (b) continuas.
Las variables discretas son aquellas cuyas observaciones se agrupan ‘inherentemente’ o ‘naturalmente’ en categorías, porque dichas variable por su naturaleza sólo pueden tomar ciertos valores muy específicos. El “género” de un sujeto es un buen ejemplo de una variable discreta: los seres humanos pueden ser mujeres u hombres, se ajustan a una u otra categoría y no hay continuidad ni puntos intermedios entre ellas. Los países o regiones del mundo también son buenos ejemplos de variables discretas. Otro ejemplo son las calificaciones o educación de los maestros. Podemos crear las siguientes categorías para describir esta última variable: (a) educación primaria completa, (b) educación secundaria completa, (c) educación superior incompleta, (d) educación superior completa y (e) educación de postgrado.
Sin embargo, existe otra clase de variables, conocidas como variables “continuas”, que no son tan fáciles de categorizar como las variables discretas. A diferencia de las variables discretas, las variables continuas, como su nombre lo indica, sólo se pueden agrupar en forma arbitraria en categorías, porque por su naturaleza pueden tomar cualquier valor a lo largo de un continuo (o de una escala numérica continua). La estatura de los habitantes de un país es un ejemplo de variable continua, así como el ingreso de las familias en dicho país. Un buen ejemplo en el área de la educación son las “calificaciones de pruebas”, que sólo se pueden agrupar arbitrariamente creando ‘intervalos’ artificiales, como por ejemplo 1-20, 21-40, etc. Note que los intervalos también podrían ser 1-10, 11-20, 21-30, etc, o cualquier otro intervalo que se prefiera, ya que la variable no se ajusta naturalmente a categorías predeterminadas como en el caso de las variables discretas.
Las variables discretas son aquellas cuyas observaciones se agrupan ‘inherentemente’ o ‘naturalmente’ en categorías, porque dichas variable por su naturaleza sólo pueden tomar ciertos valores muy específicos. El “género” de un sujeto es un buen ejemplo de una variable discreta: los seres humanos pueden ser mujeres u hombres, se ajustan a una u otra categoría y no hay continuidad ni puntos intermedios entre ellas. Los países o regiones del mundo también son buenos ejemplos de variables discretas. Otro ejemplo son las calificaciones o educación de los maestros. Podemos crear las siguientes categorías para describir esta última variable: (a) educación primaria completa, (b) educación secundaria completa, (c) educación superior incompleta, (d) educación superior completa y (e) educación de postgrado.
Sin embargo, existe otra clase de variables, conocidas como variables “continuas”, que no son tan fáciles de categorizar como las variables discretas. A diferencia de las variables discretas, las variables continuas, como su nombre lo indica, sólo se pueden agrupar en forma arbitraria en categorías, porque por su naturaleza pueden tomar cualquier valor a lo largo de un continuo (o de una escala numérica continua). La estatura de los habitantes de un país es un ejemplo de variable continua, así como el ingreso de las familias en dicho país. Un buen ejemplo en el área de la educación son las “calificaciones de pruebas”, que sólo se pueden agrupar arbitrariamente creando ‘intervalos’ artificiales, como por ejemplo 1-20, 21-40, etc. Note que los intervalos también podrían ser 1-10, 11-20, 21-30, etc, o cualquier otro intervalo que se prefiera, ya que la variable no se ajusta naturalmente a categorías predeterminadas como en el caso de las variables discretas.
Ejemplos de variables discretas y continuas:
De las siguientes variables indica cuáles son discretas y cuales continuas.
1 Número de acciones vendidas cada día en la Bolsa.
Discreta
2Temperaturas registradas cada hora en un observatorio.
Continua
3 Período de duración de un automóvil.
Continua
4 El diámetro de las ruedas de varios coches.
Continua
5 Número de hijos de 50 familias.
Discreta
6 Censo anual de los españoles.
Discreta
EN LAS SIGUIENTES DIRECCIONES HAY TEMAS RELACIONADOS:
UNIDAD 4 "GRAFIQUEMOS RELACIONES Y FUNCIONES"
RELACIONES.
Relación es la correspondencia de un primer conjunto, llamado Dominio, con un segundo conjunto, llamado Recorrido o Rango, de manera que a cada elemento del Dominio le corresponde uno o más elementos del Recorrido o Rango.
De la definiciones anterior podemos deducir que todas las funciones son relaciones, pero no todas las relaciones son funciones.
También debemos agregar que toda ecuación es una Relación, pero no toda ecuación es una Función.
Todas las Relaciones pueden ser graficadas en el Plano Cartesiano.
Ejemplo 1.
Si A = {2, 3} y B = {1, 4, 5}, encontrar tres relaciones definidas de A en B.
Solución
El producto cartesiano de A x B está conformado por las siguientes parejas o pares ordenados:
A x B = {(2, 1), (2, 4), (2, 5), (3, 1), (3, 4), (3, 5)}
Y cada uno de los siguientes conjuntos corresponde a relaciones definidas de A en B:
R1 = {(2, 1), (3, 1)}
R2 = {(2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5)}
R3 = {(2, 4), (3, 5)}
La relación R1 se puede definir como el conjunto de pares cuyo segundo elemento es 1, esto es, R1 = {(x, y) / y = 1}.
La relación R2 está formada por los pares cuyo primer componente es menor que el segundo componente, R2 = {(x, y) / x < y}
Y la relación R3 está conformada por todos los pares que cumplen con que el segundo componente es dos unidades mayor que el primer componente, dicho de otro modo, R3 = {(x, y) / y = x + 2}.
EJEMPLO EN IMAGEN DE RELACIÓN.
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FUNCIONES.
En matemática, una función (f) es una relación entre un conjunto dado X (llamado dominio) y otro conjunto de elementos Y(llamado codominio) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento f(x) del codominio (los que forman el recorrido, también llamado rango o ámbito).
En lenguaje cotidiano o más simple, diremos que las funciones matemáticas equivalen al proceso lógico común que se expresa como “depende de”.
Las funciones matemáticas pueden referirse a situaciones cotidianas, tales como: el costo de una llamada telefónica que depende de su duración, o el costo de enviar una encomienda que depende de su peso.
A modo de ejemplo, ¿cuál sería la regla que relaciona los números de la derecha con los de la izquierda en la siguiente lista?:
1 --------> 1
2 --------> 4
3 --------> 9
4 --------> 16
Los números de la derecha son los cuadrados de los de la izquierda.
La regla es entonces "elevar al cuadrado":
1 --------> 1
2 --------> 4
3 --------> 9
4 --------> 16
x --------> x2.
Para referirse a esta regla podemos usar un nombre, que por lo general es la letra f (de función). Entonces, f es la regla "elevar al cuadrado el número".
Usualmente se emplean dos notaciones:
x --------> x2 o f(x) = x2 .
Así, f(3) significa aplicar la regla f a 3. Al hacerlo resulta 32 = 9.
Entonces f(3) = 9. De igual modo f(2) = 4, f(4) = 16, f(a) = a2, etc.
Veamos algunos ejemplos que constituyen funciones matemáticas.
Ejemplo 1
Correspondencia entre las personas que trabajan en una oficina y su peso expresado en kilos
Conjunto X
|
Conjunto Y
|
Ángela
|
55
|
Pedro
|
88
|
Manuel
|
62
|
Adrián
|
88
|
Roberto
|
90
|
Cada persona (perteneciente al conjunto X o dominio) constituye lo que se llama la entrada o variable independiente. Cada peso (perteneciente al conjunto Y o codominio) constituye lo que se llama la salida o variable dependiente. Notemos que una misma persona no puede tener dos pesos distintos. Notemos también que es posible que dos personas diferentes tengan el mismo peso.
EJEMPLO EN IMAGEN DE FUNCIÓN.
NOTA:
Estos son algunas direcciones y enlaces relacionados con los temas:
UNIDAD 5 " UTILICEMOS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL"
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
Las medidas de tendencia central,dan una idea de un número alrededor del cual tienden a concentrarse todo un conjunto de datos.
Las medidas de tendencia central mas comúnmente usadas son:
Las medidas de tendencia central mas comúnmente usadas son:
- La media Aritmética.
- la mediana.
- La moda.
La media aritmética es la que frecuentemente se le denomina promedio, sin embargo, el término es utilizado también para las otras medidas de tendencia central.
LA MEDIA ARITMÉTICA ( X )
Aún y cuando existen varias media, la media aritmética es la mas frecuentemente utilizada en Estadística. La media aritmética, es la suma de las puntuaciones o valores originales dividida entre el
número de ellas.
EJEMPLO. Las calificaciones en una evaluación sobre 100 puntos fueron: 60, 55, 70, 70, 85 y 80. Luego, X= 420 = 70.
( La calificación media es 70 puntos.) 6
Nota: Las puntuaciones extremas afectan o modifican la media, a saber:
En los grupos de valores 1,3,5,5,5,6 y 1,3,5,5,5,110 las medias
son 4.2 en el primer grupo y 21.5 en el segundo. Estos dos grupos no tienen la misma media, por lo tanto,En un conjunto de valores donde existen valores muy extremos, no se debe calcular la media
En los grupos de valores 1,3,5,5,5,6 y 1,3,5,5,5,110 las medias
son 4.2 en el primer grupo y 21.5 en el segundo. Estos dos grupos no tienen la misma media, por lo tanto,En un conjunto de valores donde existen valores muy extremos, no se debe calcular la media
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LA MEDIANA (Md)
Es el punto medio, arriba o debajo del cual caen el 50% de las puntuaciones o casos. Para calcular la mediana, se ordenan las puntuaciones en orden creciente o decreciente. En caso de ser el número de datos impar, la mediana es el valor central; en el caso de ser par, la mediana es el promedio de los valores centrales.
EJEMPLO. (a) 6,11,9,12,13,10,20,15,17. Al ordenarlos se obtiene:
6,9,10,11,12,13,15,17,20. La mediana es 12. Md=12
(b) 9,10,12,11,3,6,20,17,13,15. Al ordenarlos se obtiene:
3,6,9,10,11,12,13,15,17,20. La mediana es el promedio entre 11 y 12, por haber dos valorescentrales. Md= 11.5
Nota: Una característica de la mediana es su insensibilidad hacia los valores extremos. Así, en el conjunto de valores: 2,3,8,11,48la Md= 8; esto es verdad aún y cuando hay un valor extremo de 48. Si cambiamos éste valor por 98 la mediana seguiría siendo la misma.
Esta característica de la mediana la hace muy útil para la descripción de la tendencia central en ciertos tipos de distribuciones en las cuales la media es una medida inaceptable de tendencia central, debido a su sensibilidad hacia las calificaciones extremas.
EL MODO (Mo). DENOMINADO TAMBIEN MODA.
Es el valor que aparece con mas frecuencia en una serie de datos.
EJEMPLO. 1,1,2,2,2,3,3,3,3,4,5,6,8. La cifra 3 aparece cuatro veces lo cual es mas frecuente que otro valor; por lo cual el valor modal o modo es 3. ( Mo=3)
1,1,2,2,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,6,7,8.
Las cifras 2 y 4 aparecen cuatro veces.
Luego Mo= 2,(Bimodal)
Cuando aparecen tres o mas veces se denomina Multimodal.
Es el punto medio, arriba o debajo del cual caen el 50% de las puntuaciones o casos. Para calcular la mediana, se ordenan las puntuaciones en orden creciente o decreciente. En caso de ser el número de datos impar, la mediana es el valor central; en el caso de ser par, la mediana es el promedio de los valores centrales.
EJEMPLO. (a) 6,11,9,12,13,10,20,15,17. Al ordenarlos se obtiene:
6,9,10,11,12,13,15,17,20. La mediana es 12. Md=12
(b) 9,10,12,11,3,6,20,17,13,15. Al ordenarlos se obtiene:
3,6,9,10,11,12,13,15,17,20. La mediana es el promedio entre 11 y 12, por haber dos valorescentrales. Md= 11.5
Nota: Una característica de la mediana es su insensibilidad hacia los valores extremos. Así, en el conjunto de valores: 2,3,8,11,48la Md= 8; esto es verdad aún y cuando hay un valor extremo de 48. Si cambiamos éste valor por 98 la mediana seguiría siendo la misma.
Esta característica de la mediana la hace muy útil para la descripción de la tendencia central en ciertos tipos de distribuciones en las cuales la media es una medida inaceptable de tendencia central, debido a su sensibilidad hacia las calificaciones extremas.
EL MODO (Mo). DENOMINADO TAMBIEN MODA.
Es el valor que aparece con mas frecuencia en una serie de datos.
EJEMPLO. 1,1,2,2,2,3,3,3,3,4,5,6,8. La cifra 3 aparece cuatro veces lo cual es mas frecuente que otro valor; por lo cual el valor modal o modo es 3. ( Mo=3)
1,1,2,2,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,6,7,8.
Las cifras 2 y 4 aparecen cuatro veces.
Luego Mo= 2,(Bimodal)
Cuando aparecen tres o mas veces se denomina Multimodal.
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